Главная страница

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе «Логарифмические уравнения»



Скачать 99.52 Kb.
НазваниеУрок по алгебре и началам анализа в 11 классе «Логарифмические уравнения»
Дата29.08.2016
Размер99.52 Kb.
ТипУрок

Центральный Учебный Округ



Автономная некоммерческая организация
Средняя общеобразовательная школа
«ДИМИТРИЕВСКАЯ»





Открытый урок по алгебре и началам анализа в 11 классе

«Логарифмические уравнения»

(на 2 урока)

Учитель математики АНО СОШ «Димитриевская»

Астанин Михаил Яковлевич

Москва

2013 - 2014 г

Цели урока.

Образовательная. Повторение определения логарифма и его свойства. Умение применять эти свойства при решении различных типов логарифмических уравнений, а также уравнений высокой трудности.

Воспитательная. Воспитывать сознательное отношение к учебе, ответственность за каждое выполненное задание, повышение интереса к математике, к исследовательской работе.

Развивающая. Развивать логическое мышление, математическую речь, умение сравнивать и делать правильные выводы; совершенствовать навыки работы со свойствами логарифмов и применять их при решении уравнений.

Методы и приемы.

Словесный, наглядный.

Форма работы.

Групповая, индивидуальная, коллективная, устная, письменная.

По типу. Урок – соревнование двух команд; обобщения и систематизации знаний.

Наглядность к уроку и раздаточный материал.

  • Карточки-тесты с заданиями для самостоятельной работы.

  • Групповые задания для практической работы.

  • Основные свойства логарифмов (плакат).

  • Графики логарифмических функций убывающей и возрастающей (плакат).

  • Учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс» под ред. А.Н. Колмогорова.


Ход урока.

Организационная часть.

— приветствие;

— подготовка учащихся к уроку;

— получение сведений об отсутствующих.

Повторение.

1-й раунд. Класс делится на две группы, и каждая группа получает индивидуальное задание в письменной форме сформулировать определение и 14 свойств логарифмов.

Команды взаимно передают друг другу листы А-4. Учитель вывешивает плакат с определением и свойствами (Приложение 1). В это время ученики проверяют работы. Подводятся итоги.

2-й раунд. Устный счет. На экране появляются 20 заданий для устного счета.

1)

2)

3)

4)

5)

6) , где

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)


Учащиеся меняются листами для проверки (ответы на экране).

1) 8

2) 1/3

3) -5

4) 24

5) 0

6) -5

7) 2

8) -3

9) 1

10) -2

11) 3

12) -2

13) 2

14) 1024

15) 3

16) 25

17) 4

18) 1 000 000

19) 0,5

20) 1

Данные учитель вносит в компьютер. Итог двух «раундов» на экране.

3-й раунд. Тест №1 «Логарифмы и их свойства»

Вариант 1.



Задание

1

2

3

4

Ответ

1



0,5

2

7






2



48

72

17

14




3



0,6





3,5




4









9




5






6

Найдите значение выражения , если .


Вариант 2.



Задание

1

2

3

4

Ответ

1



9



3






2







6

4




3



2,5





0,4




4







17

4




5



6

Найдите значение выражения , если .

Учащиеся меняются листами для взаимной проверки. На экране появляются ответы.



№ Задания

1

2

3

4

5

6

1 вариант

1

2

3

2

2

3

2 вариант

2

1

3

1

1

2

Результаты проверки учитель вносит в компьютер. Итог трех «раундов» на экране.

Решение некоторых уравнений требует применения таких свойств функций, как монотонность и ограниченность.

4 раунд. Тест №2 «Логарифмическая функция».

Вариант 1.



Задание

1

2

3

4

Ответ

1

Найдите значение функции при , .

2; 3

2; -3

; -3

; 16




2

Найдите , при которых значение функции равно -2.

0,01

-100

20

не сущес-

твует




3

На каком из рисунков изображен график функции ?
















4

Сравните с единицей число и

A>1

B>1


A<1

B<1

A>1

B<1


A<1

B>1




5

Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции на промежутке ; 81]

6

Для каждого значения параметра найдите область определения функции



Вариант 2.



Задание

1

2

3

4

Ответ

1

Найдите значение функции при , .

-2;

2;

; 2

; 2




2

Найдите , при которых значение функции равно -3.

-1

9

27

не сущес-

твует




3

На каком из рисунков изображен график функции ?
















4

Сравните с единицей число и

A>1

B>1


A<1

B<1

A>1

B<1


A<1

B>1




5

Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции на промежутке ; ]

6

Для каждого значения параметра найдите область определения функции


Учащиеся меняются листами для взаимной проверки. На экране появляются ответы.

№ Задания

1

2

3

4

5

6

1 вариант

2

1

2

4

6









2 вариант

1

3

3

1

1,5









Замечание. функция не определена.

Результаты проверки учитель вносит в компьютер. Итог 4-го «раунда» на экране.

Новый материал.

Тема: «Решение логарифмических уравнений».

Основная идея решения любого логарифмического уравнения — сведение его к одному или нескольким простейшим уравнениям, а основными средствами реализации этой идеи являются следующие:

I. равносильные преобразования;

II. переход к уравнению-следствию;

III. разложение на множители;

IV. замена переменной;

V. применение свойств функций.
I. Равносильные преобразования.

Решение большинства логарифмических уравнений после некоторых преобразований сводится к решению логарифмического уравнения вида



или совокупности таких уравнений:


Второе неравенство системы можно заменить неравенством (выбор зависит от того, какая из функций имеет более простой вид).

Для частных случаев равносильные системы становятся менее громоздкими. Рассмотрим их.

  1. ,

где и — числа,. Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на промежутке и принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне, следует, что для любого данное уравнение имеет решение и притом только одно. Из определения логарифма числа сразу следует, что является таким решением. Начинаем 5-й раунд.

5 раунд. Устный счет.


1)

6)

2)

7)

3)

8)

4)

9)

5)

10)


Учащиеся меняются листами для взаимной проверки. На экране появляются ответы. Результаты проверки учитель вносит в компьютер. Итог 5-го раунда на экране.

№ Задания

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ответы
























  1. .


3. .
На экране появляются задания для 6-го «раунда».

Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

Учащиеся меняются листами для взаимной проверки. На экране решения:

а)



Ответ: -5; 1.

б)



Ответ: 2.

в)



Ответ: 3.

г)



Ответ: решений нет.

д)


Ответ: корней нет.

Учащиеся записывают решения в свои рабочие тетради. Учитель результаты проверки вносит в компьютер. Итог 6-го «раунда» на экране.

II. Переход к уравнению-следствию.

Пример 1. Решим уравнение:

.


  1. Найдем ОДЗ: .

  2. ,

откуда и корни квадратного уравнения не удовлетворяет условию .

Ответ: 13.

Замечание. При решении уравнений, содержащих сумму двух и более логарифмов следует помнить, что область определения правой части равенства



шире области определения его левой части.

Поэтому при решении уравнения переход от суммы логарифмов к логарифму произведения может привести к приобретению посторонних корней.

Чтобы этого не случилось, нужно в самом начале решения выписать соответствующие неравенства (ОДЗ) или получив корни, сделать проверку.

При преобразовании логарифмов произведения в сумму логарифмов область допустимых значений переменной сужается и при решении уравнения можно потерять корни. Поэтому, чтобы избежать потери корней в этом случае следует применить более общие формулы, расширяющие область определения




Пример 2. Решите уравнение




Ответ: 2; 8.

III. Разложение на множители.

Пример 3. Решите уравнение

.

Перепишем уравнение в виде




Ответ: 10.
IV. Замена переменной.

Пример 4. Решите уравнение



Введем новую переменную.

Пусть . Получим .
Сделаем обратную замену:
Ответ: 0,5; 8.
V. Применение свойств функций.

Пример 5. Решите уравнение

.

Решение. Из условия следует, что на этом промежутке функция монотонно возрастает, а функция монотонно убывает. Поэтому уравнение имеет не более одного корня. Поскольку , то единственный корень уравнения.

Ответ: 2.
Итог урока.

  • Какие свойства логарифмов вы сегодня повторили?

  • Перечислите основные средства необходимые для сведения логарифмических уравнений к одному или к нескольким простейшим уравнениям.

  • Какие общие формулы следуют применять, чтобы избежать потери корней?

Учитель подводит итоги соревнования двух команд и объявляет оценки за работу на уроке, задает домашнее задание № 512-515, №518-520 (по учебнику «Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс» под ред. А.Н. Колмогорова).